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代数与不等式
Algebra & Inequalities
考点概述
代数题在 BMO 里主要有四类：**不等式**（必须讨论等号）、**数列与递推**、**多项式与因式分解**、**入门函数方程**。SMC 部分则考代数化简与方程。核心武器：AM–GM / QM–AM / 幂平均、**SOS（配方）**、**Cauchy–Schwarz**、**对称式与牛顿幂和**，以及数列的「**换一个量看递推**」「**单调有界收敛**」。不等式题的评分极看重**等号条件**的完整讨论。
核心知识点
ESAT 考试重点
- ◆等号必须单独写清（多为全部变量相等）
- ◆积为常数 → AM–GM；和为常数 → 求平方和最小用 QM–AM
- ◆非对称循环不等式（如 $a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a$）用**逐项加权 AM–GM**：$2a^3+b^3\ge3a^2b$ 再循环求和
ESAT 考试重点
- ◆$x^2+y^2\ge2xy$ 是万能砖块
- ◆恒正多项式：分段 + 分组配非负，别忘 $|x|\ge2$、$0<x<1$ 等边界
- ◆$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ 要能瞬间写出
ESAT 考试重点
- ◆「非负二次式 → 判别式 ≤ 0」是引入辅助变量榨不等式的通法
- ◆分式和：先「每项 +1」补成公共分子，再套 $(\sum x)(\sum\tfrac1x)\ge n^2$ 或 Titu
- ◆$(\sum x)(\sum\tfrac1x)\ge n^2$ 要熟
ESAT 考试重点
- ◆不要急着解出根，用对称式恒等式直接算幂和
- ◆$a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$
- ◆$x+\tfrac1x=s\Rightarrow x^2+\tfrac1{x^2}=s^2-2,\ x^3+\tfrac1{x^3}=s^3-3s$
ESAT 考试重点
- ◆证无理：有理根定理证「无有理根」+ 介值定理证「实根存在」
- ◆证合数：配平方差成两个 $>1$ 的因子（注意排除 $n$ 小的退化）
- ◆数列求极限务必先说清「极限存在」再令两边相等
ESAT 考试重点
- ◆先算 $f(0),f(1)$；乘性中 $f(1)=f(1)^2$
- ◆「平方制造非负 ⇒ 单调」是驯服柯西方程病态解的关键
- ◆加性 + 单调（或有界/连续）⇒ 线性 $f(x)=cx$
考点例题精讲
以下例题重点在于理解解题思路，建议先尝试自己解，再对照讲解。
1例 1：两步夹逼——$abc=1\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge a+b+c$
2例 2：平方化——$a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+\tfrac1{a_n}$，证 $a_{100}>14$