← BMO 备考详情开始专项练习 →
几何
Geometry
考点概述
几何在 BMO1 多为**角度追逐、相似、圆**；BMO2 上升到**垂心 / 内心 / 外心 / 欧拉线 / 西姆松线**等。解题有三条并行主线，遇题择优或兜底：**综合法**（圆周角、圆内接四边形、相似）、**坐标法**（顶点放原点、边放轴，距离公式硬算）、**向量法**（外心取原点后三角形心的表达极简）。会用**有向角**能免去大量分情形讨论。
核心知识点
ESAT 考试重点
- ◆「同弧等角」「对角互补」是角度追逐的引擎
- ◆直角 → 该点在以斜边为直径的圆上
- ◆有向角（模 $180^\circ$）自动处理点的不同位置，强烈推荐
ESAT 考试重点
- ◆圆里出现「交点 + 边长乘积」→ 找相似 / 用点的幂
- ◆托勒密的等角构造是可复用模板（还延伸出托勒密不等式）
- ◆相交弦、切割线本质都是「点的幂」
ESAT 考试重点
- ◆把一点与顶点连线拆分面积，再「两种算法」相等
- ◆$[\triangle]=\tfrac12\,\text{底}\times\text{高}=\tfrac12ab\sin C=rs$（$r$ 内切圆半径，$s$ 半周长）
ESAT 考试重点
- ◆中点原点 / 边放轴，是坐标法的黄金摆位
- ◆余弦定理、Stewart / 阿波罗尼是「长度平方」类题的常备引理
- ◆计算量大但稳，适合兜底
ESAT 考试重点
- ◆「外心原点 + $H=\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c$」是处理垂心/欧拉线的钥匙
- ◆共线 / 定比 / 平行问题：向量法几乎无脑可靠
- ◆$H$ 关于 $BC$ 的**反射**落在外接圆上（另一条黄金事实）
ESAT 考试重点
- ◆内切圆问题从「等切线长」起手，边长化为 $x,y,z$ 解方程
- ◆$\angle BIC=90^\circ+\tfrac12\angle A$ 是高频引理（旁心为 $90^\circ-\tfrac12\angle A$）
- ◆多个直角/垂足 → 直径圆 + 有向角 = 西姆松、九点圆等
考点例题精讲
以下例题重点在于理解解题思路，建议先尝试自己解，再对照讲解。
1例 1：托勒密定理（等角构造 + 两组相似）
2例 2：内心角 $\angle BIC=90^\circ+\tfrac12\angle A$