几何

圆周角定理：同弧所对圆周角相等，圆心角是圆周角的两倍；直径所对圆周角为 $90^\circ$。
圆内接四边形：对角互补。切线–弦角（弦切角）等于所夹弧的圆周角。

四点共圆判定：对同一线段，同侧张角相等或异侧张角互补 $\iff$ 四点共圆——这是把「垂足 / 直角」串起来的核心（如西姆松线用「直角 ⇒ 落在直径圆上」）。

相似三角形给出边长比例。射影定理：直角三角形斜边上作高，$b^2=c\cdot p$、$a^2=c\cdot q$（勾股由此相加而来）。

点对圆的幂：过定点 $P$ 的割线/弦满足 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$；切线情形 $PT^2=PA\cdot PB$。托勒密定理：圆内接四边形 $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$（用「在对角线上取等角点 → 两组相似 → 相加」证）。

同一面积两种算法建立等式，是最朴素有效的手段。

• 角平分线定理：$BD/DC=AB/AC$（比面积）。
• 维维亚尼定理：等边三角形内一点到三边距离之和 $=$ 高（三小三角形面积求和，三边等长故可消去）。一般三角形则 $a\,d_a+b\,d_b+c\,d_c=2[ABC]$。

把一个顶点放原点、一条边放坐标轴，其余点用边长与角写坐标，再距离公式硬算。黄金摆位是「中点放原点、对边放 $x$ 轴」，让中线/对称/垂直关系大幅简化、交叉项自动抵消。

由此可推：余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$、阿波罗尼中线 $m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$。综合法一时无思路时，坐标法几乎总能推到底。

外心 $O$ 取原点后（$|\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=R$）：

于是许多关系变成一行运算：$AH=2\,OM$（$M$ 为 $BC$ 中点）、$H$ 关于 $M$ 的对称点 $=-\mathbf a$（$A$ 的对径点）、欧拉线 $O,G,H$ 共线且 $OG:GH=1:2$（因 $H=3G$），九点圆心 $N=\tfrac12(\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c)$ 为 $OH$ 中点。

等切线长：内切圆切三边，从各顶点出发的两条切线长相等，设 $AY=AZ=x,\ BZ=BX=y,\ CX=CY=z$，则 $a=y+z$ 等，解得 $x=s-a$（$s$ 半周长）。
内心角：$\angle BIC=90^\circ+\tfrac12\angle A$（$BI,CI$ 平分角 + 内角和）。

西姆松线：$P$ 在外接圆上 $\Rightarrow$ 它到三边的垂足共线——用「直角 ⇒ 直径圆共圆」造辅助圆，再用有向角追踪。