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数论
Number Theory
考点概述
数论是 SMC 与 BMO1 最高频的主题，BMO2 也几乎每年一题。SMC 部分侧重快速的整除、同余、末位与素数判断；证明题则要求把这些事实组织成严谨论证。真正需要练到「条件反射」的五件武器是：**取模缩小可能性**、**按余数/奇部分类的鸽巢**、**阶与费马小定理**、**无穷递降**、**中国剩余定理（CRT）构造**。掌握它们，绝大多数 BMO 数论题都有明确的下手方向。
核心知识点
ESAT 考试重点
- ◆证「不可能」优先取模：模 4、模 8（奇平方≡1）、模 9、模 3 最常用
- ◆个位/末两位问题 = 模 10 / 模 100；幂的末位有周期（循环节）
- ◆拆成互素因子分别验证再合并：$6=2\times3$、$24=8\times3$、$240=16\cdot3\cdot5$
ESAT 考试重点
- ◆「相邻平方数之间没有平方数」是常用夹逼：$m\ge2$ 时 $m^2-1$ 非平方
- ◆造一列两两互素的数、各取素因子 = 制造无穷多不同素数
- ◆$\gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=ab$
ESAT 考试重点
- ◆阶必整除 $p-1$——这是限制指数的关键
- ◆「最小素因子 + 阶」是 $n\mid a^n\pm1$ 类题的通法
- ◆$2^n-1$ 为素数（Mersenne）$\Rightarrow n$ 为素数（$2^a-1\mid2^{ab}-1$）
ESAT 考试重点
- ◆看到系数 $3z^2,5z^2$ 先试模 3、模 5
- ◆递降 = 良序原理：取最小解制造矛盾
- ◆与「有理根定理」互补：都用于「无理/无解」这类否定命题
ESAT 考试重点
- ◆任意长连续合数 / squareful / 非幂——都靠 CRT 造
- ◆模必须两两互素才能拼
- ◆补充武器：$p$-adic 赋值 $v_p$（证 $H_n=1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1n$ 非整数，盯最大的 2 的幂）；共轭伴随 $(a+\sqrt b)^n+(a-\sqrt b)^n$（证取整/整除）
考点例题精讲
以下例题重点在于理解解题思路，建议先尝试自己解，再对照讲解。
1例 1：模 4 判别——$4k+3$ 不是两平方和
2例 2：最小素因子 + 阶——求所有 $n\mid 2^n-1$