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数学1 — 代数与函数
Math 1: Algebra & Functions
考点概述
代数与函数是 ESAT 数学模块的核心考点，占比约 35%。考查重点包括：二次方程与判别式、函数的复合与反函数、指数对数方程、不等式、因式定理与余数定理。题目通常要求快速代入与化简，计算能力和公式熟练度至关重要。
核心知识点
ESAT 考试重点
- ◆ESAT 常考「判别式 = k 时求参数范围」类型
- ◆韦达定理：$x_1+x_2 = -b/a$，$x_1 x_2 = c/a$
- ◆二次不等式记住「开口向上，外侧大于，内侧小于」
ESAT 考试重点
- ◆复合函数先算括号里的（右边先）
- ◆$f^{-1}(f(x)) = x$ 只在 $f$ 的定义域内成立
- ◆图形关系：$y=f^{-1}(x)$ 是 $y=f(x)$ 关于直线 $y=x$ 的对称
ESAT 考试重点
- ◆ESAT 常见：$2^x = 3^{x-1}$ 型，两边取 ln 后解线性方程
- ◆对数方程要验根（真数必须 > 0）
- ◆指数增长/衰减：$N(t) = N_0 e^{kt}$，考结合物理背景的应用题
ESAT 考试重点
- ◆三次多项式 $ax^3+bx^2+cx+d$，有理根一定是 $\pm\dfrac{d\text{ 的因数}}{a\text{ 的因数}}$
- ◆考试常给一个根，要求求其他根或待定系数
- ◆ESAT 题型：已知 $(x-2)$ 是 $f(x)$ 的因式，求参数 $k$
考点例题精讲
以下例题重点在于理解解题思路，建议先尝试自己解，再对照讲解。
1例 1：判别式与参数范围
2例 2：复合函数与反函数
3例 3：指数方程