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数学1 — 微积分
Math 1: Calculus
考点概述
微积分是 ESAT 的高分考点，约占数学模块 30%。重点考查：微分法则（乘积法则、商法则、链式法则）、积分技巧（换元法、分部积分）、极值与曲线分析、面积与体积的积分计算。Cambridge/Imperial 特别偏爱应用微积分于物理和几何情境中。
核心知识点
ESAT 考试重点
- ◆链式法则：「外层导数 × 内层导数」，不要漏乘内层导数
- ◆$\dfrac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$
- ◆隐函数微分：对含 $y$ 的式子关于 $x$ 求导，记得 $\dfrac{dy}{dx}$
ESAT 考试重点
- ◆ESAT 常考「在闭区间 $[a,b]$ 上找最大值/最小值」——同时检查端点值
- ◆优化问题：先建立函数表达式，再求导令 $f'=0$
- ◆拐点：$f''(x_0) = 0$ 且 $f''$ 在 $x_0$ 两侧变号
ESAT 考试重点
- ◆定积分几何意义：曲线与 $x$ 轴围成的（有向）面积
- ◆面积总取绝对值：若曲线在 $x$ 轴下方，积分为负，面积取 $|\int|$
- ◆两曲线间面积：$\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx$（$f$ 在上方）
考点例题精讲
以下例题重点在于理解解题思路，建议先尝试自己解，再对照讲解。
1例 1：链式法则微分
2例 2：优化问题
3例 3：分部积分