矩阵与变换（分 STEP 2/3）

Matrices & Transformations (STEP 2/3)

考点概述

STEP 2：2×2 矩阵、行列式、逆矩阵、变换与不变直线；STEP 3 另含3×3。不要求未提供引导的特征值/对角化。

STEP 2/3 分开核验。复数与 2×2 矩阵可属 STEP 2；De Moivre、一般复根、平面与向量积等属 STEP 3。

学习重点

以下例题重点在于理解解题思路，建议先尝试自己解，再对照讲解。

1范围内书面例题

Let $I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x\, dx$ for non-negative integer $n$ .

Show that $I_0 = \dfrac{\pi}{2}$ and $I_1 = 1$ .

Show that $I_n = \dfrac{n-1}{n}\,I_{n-2}$ for $n \ge 2$ (reduction formula).

Show that $I_{2m} = \dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\dfrac{\pi}{2}$ , where $(2m)!! = 2\cdot4\cdot6\cdots(2m)$ .

Hence evaluate $I_6$ and $I_7$ .

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